Villányi Attila:

A hibás égési egyenletek miatt, a további részeredmények és a végeredmény is pontatlan. Mivel több elvi hibát nem követ el a végeredmény reálisnak tűnik, így megadható a további pontok fele. Két pont veszteség!

8.3. Értékes jegyek, a kerekítés szabályai

A gyakorlatban az adatok többnyire nem pontosak, hanem csak közelítőek, csak közelítően fejezik ki a valóság mennyiségi viszonyait. A legpontosabb mérőeszközökkel végzett mérések is csak közelítő értéket adnak. A közelítő értékekkel (számokkal) végzett számítási műveletek eredményei szintén közelítő értékek. Egy számolás elvégzésekor az eredményben pontatlan jegyek kerülhetnek azokra a helyekre is, ahol a műveletben részt vevő számok eredetileg pontosak voltak.

Példa	Szorozzuk össze az 50,2 és a 90,1 közelítő számokat:



	A szorzatban szereplő két tényező, az 50,2 és a 90,1 csak a századokban, ezredekben stb. különböznek a valódi értékektől. Ezzel szemben, a kapott eredmény már az egyesek helyén is pontatlan lehet. Elképzelhető ugyanis, hogy a két tényező az 50,25 és a 90,14 pontos számok kerekítéséből származik. Ennek a két számnak a szorzata:



	A pontos szorzat értéke az előbbi, közelítő értéktől az egyesek helyén 6 egységgel tér el.	[1.]

A fenti nagyon egyszerű példából jól látszik, hogy a pontosságnak, a kerekítésnek fontos szerepe van az adatok kiértékelésében, az adatokkal történő számolás során. Ahhoz, hogy a számok pontosságáról, hibájáról tudjunk beszélni, definiáljuk az értékes jegy fogalmát.

Definíció	Értékes számjegynek nevezzük a szám valamennyi jegyét a szám elején álló nulla, illetve nullák kivételével, vagy	[1.]
	értékes számjegynek nevezzük azon szám jegyeinek számát, melyek a szám normálalakban történő előállításakor a 10-nek megfelelő hatványa előtt szorzótényezőként szerepel.

Megjegyzés	1. A számok normálalakban történő előállításakor figyelnünk kell az alábbiakra:
	2. a 10-nek megfelelő hatvány előtt lévő szorzótényező 1 és 10 közé eső szám legyen,
	3. a szám végén lévő nullákat is ki kell írni a szám elején lévőkkel ellentétben, mert ezek a jegyek növelik a szám pontosságát.

Példa	Tekintsük a 0,001245 számot. Ha ennek a számnak az elején gondolatban letakarjuk a nullákat, akkor maradnak az 1245 számjegyek, azaz ez a szám négy értékes jegyet tartalmaz, vagy ahogy még fogalmazni szoktak, ezt a számot négy értékes jegyre adták meg.	[1.]
	Állítsuk elő ennek a számnak a normálalakját:

	A 10-nek -3-dik hatványa előtt olyan 1 és 10 közé eső szám van, mely négy számjegyet tartalmaz. Ezek a jegyek a szám értékes jegyei.
Példa	Tekintsük a 0,00124500 számot. Ha ennek a számnak az elején gondolatban letakarjuk a nullákat, akkor maradnak az 124500 számjegyek, azaz ez a szám hat értékes jegyet tartalmaz, vagy ahogy még fogalmazni szoktak, ezt a számot hat értékes jegyre adták meg.
	Állítsuk elő ennek a számnak a normálalakját:

	A 10-nek -3-dik hatványa előtt olyan 1 és 10 közé eső szám van, mely hat számjegyet tartalmaz. Ezek a jegyek a szám értékes jegyei.

A kísérleti tudományok mindig mérésre, adatok leolvasására, azok kiértékelésére épülnek. Minden adat rögzítésekor közelítő értékkel kell számolnunk. A közelítő értékek rögzítése során az adatokat a lehető legpontosabban kell rögzíteni, a lehető legkisebb hibával kell kerekíteni. A kerekítés, a közelítő érték megadása során a szám végéről jegyeket hagyunk el (csökkentjük az értékes jegyek számát). Az utolsó jegyet, amit nem hagyunk el, szükség szerint úgy változtatjuk, hogy az a lehető legkisebb mértékben térjen el az eredeti értéktől.

A kerekítés szabályai:

1. szabály	Ha az elhagyandó számjegyek közül az első 5-nél nagyobb, akkor az utolsó, még megtartott számjegyet eggyel megnöveljük. Akkor is növeljük eggyel az utolsó számjegy értékét, ha az első elhagyandó számjegy ugyan az 5, de utána található egy vagy több nullától különböző értékes jegy.	[1.]

Példa	Kerekítsük a 234,876 számot négy értékes jegyre! Mivel az elhagyandó számjegyek közül (a szám végén álló 7 és 6 jegyek) az első nagyobb, mint 5, ezért az utolsó, még megtartott jegyet növelni kell eggyel, így a kerekített érték 234,9. Az így kapott szám az eredetihez közelebb van , mintha csak egyszerűen elhagytuk volna a két utolsó jegyet .

Példa	Kerekítsük a 234,8501 számot négy értékes jegyre! Mivel az elhagyandó számjegyek közül (a szám végén álló 5, 0 és 1 jegyek) az első 5, de utána még található nullától különböző értékes jegy, ezért az utolsó, még megtartott jegyet növelni kell eggyel, így a kerekített érték 234,9. Az így kapott szám az eredetihez közelebb van , mintha csak egyszerűen elhagytuk volna a három utolsó jegyet .

2. szabály	Ha az elhagyandó számjegyek közül az első 5-nél kisebb, akkor a meghagyott számjegyek változatlanok maradnak.	[1.]

Példa	Kerekítsük a 2,843 számot két értékes jegyre! Mivel az elhagyandó számjegyek közül (a szám végén álló 4 és 3 jegyek) az első kisebb, mint 5, ezért az utolsó, még megtartott jegyet nem változtatjuk, így a kerekített érték 2,8. Az így kapott szám az eredetihez közelebb van , mintha az előbbiek alapján növeltük volna az utolsó, még meghagyandó számjegyet, azaz 2,9-re kerekítettünk volna, ugyanis .

Megjegyzés	4. Az első esetben ún. felfele kerekítésről, a második esetben ún. lefele kerekítésről szoktunk beszélni. Röviden mondhatjuk, hogy 5-nél nagyobb számok esetén felfele kerekítünk, 5-nél kisebb számok esetén lefele kerekítünk. Ez a rövid megfogalmazás azonban nem tartalmazza azt, hogy melyik számjegy helyén kell kerekíteni.

3. szabály	Ha az elhagyandó számjegyek közül az első 5, és utána nincsen nullától különböző értékes jegy, akkor a meghagyott jegyek közül az utolsót (visszafele olvasva az elsőt) változatlanul hagyjuk, ha páros szám, eggyel megnöveljük, ha páratlan szám.	[1.]

Példa	Kerekítsük a 2,8500 számot három értékes jegyre! Mivel az elhagyandó számjegyek közül az első 5, a többi nulla, az 5 előtt pedig páros szám van, a 8, a kerekített érték 2,8.

Példa	Kerekítsük a 2,3500 számot három értékes jegyre! Mivel az elhagyandó számjegyek közül az első 5, a többi nulla, az 5 előtt pedig páratlan szám van, a 3, a kerekített érték 2,4.

Példa	Kerekítsük a 2,5500 számot három értékes jegyre! Mivel az elhagyandó számjegyek közül az első 5, a többi nulla, az 5 előtt pedig páratlan szám van, az 5, a kerekített érték 2,6.

Megjegyzés	Az utóbbi, 3. szabállyal a kerekítés pontosságát nem növeljük, de többműveletes számolások esetén a hibák nagyrészt kiegyenlítődnek. Ezen felül sok esetben páros számmal könnyebb számolni.	[1.]

A számok leírásából azok pontosságára következtethetünk. Minél több értékes jegyet tartalmaz egy szám, annál pontosabban megadott értékről beszélhetünk. Már most ki kell emelni, hogy az a sokak által hangoztatott kijelentés, miszerint egy adott számolási műveletsor közben minden számot ugyanannyi tizedes jegyre kell megadni hamis, illetve csak korlátozott esetekben igaz.

8.3.1. Abszolút és relatív hiba

A számítások végzésénél mindig figyelemmel kell lenni arra, hogy az eredményt milyen pontossággal kell megkapnunk, illetve milyen pontossággal kaphatjuk meg. Hibás eljárás nagy pontossággal számolni olyankor, amikor a kiindulási adatok ezt nem teszik lehetővé, vagy nem követelik meg. [2.] (Így pl. nincsen értelme olyan számológép adatait használni, amely 10 karaktert, tehát 10 értékes jegyet ad meg olyan esetben, amikor a kiindulási adataink csak négy értékes jegyet tartalmaznak.) Ahhoz, hogy a számolások során a megfelelő pontossággal járjunk el, egy számítási soron belül az egymás utáni műveletek elvégzésekor mindig a megfelelő módon kell a kapott részeredményt kerekítenünk. A részeredmények kerekítése során arra is figyelemmel kell lennünk, nehogy túlzott mértékű kerekítést végezzünk, és emiatt a hibahalmozódás során a kellően pontos adatainkból számított érték túlságosan pontatlan legyen.

Definíció	Egy tetszőleges x számnak és az x szám a közelítő értékének az egymástól való eltérését (a két szám különbségének abszolút értékét) a szóban forgó a közelítő érték hibájának, pontosabban abszolút hibájának nevezzük. Jelekkel:
	,
	ahol jelöli az a szám abszolút hibáját.	[2.]

Megjegyzés	1. Az abszolút hibát szokták csak egyszerűen hibának, illetve hibahatárnak is nevezni.
	2. A definícióból következik, hogy hibája nem az eredeti számnak, hanem a szám közelítő értékének van. Ez érthető is, hiszen kisebb-nagyobb hibát a kerekítés során követünk el.

Példa	Tekintsük a 34, 817 számot, valamint ennek közelítő értékét, a 34,8 számot! A 34,8-nek mint közelítő értéknek a hibája

Példa	Tekintsük a 34865 számot, valamint ennek közelítő értékét, a 34900 számot! A 34900-nak mint közelítő értéknek a hibája

Definíció	Egy tetszőleges x számnak jelölje a a közelítő értékét! A a közelítő érték relatív hibájának nevezzük a közelítő érték abszolút hibájának és a közelítő értéknek a hányadosát. Jelekkel: , ahol jelöli a relatív hibáját.	[2.]

Megjegyzés	3. A relatív hibát gyakran százalékban adják meg, ami az előző definícióban szereplő mennyiség 100-szorosát jelenti.

Példa	Számoljuk ki az előző példákban szereplő értékek relatív hibáit is! , ami 0,0489 százalék hibának felel meg.

Példa	Hasonlóan a másik relatív hiba: , ami 0,1 százalék hibának felel meg.

A fentiekben definiáltuk egy szám abszolút hibáját és relatív hibáját. A két hiba fogalma a mindennapi használatban gyakran keveredik. Sokszor csak a kérdésből, illetve a szövegkörnyezetből derül ki, hogy egy konkrét szituációban a közelítő érték relatív vagy abszolút hibájáról van szó. Gyakran hallani olyat, hogy egy adat hibája kb. 5%. Az előbbiek alapján most már tudjuk, hogy ebben az esetben a szám relatív hibájáról van szó, vagyis a hibát magához a közelítő értékhez viszonyítjuk. Amennyiben valaki egy analitikai mérleg előtt állva azt állítja, hogy a mérleg milligramm pontossággal mér, akkor természetesen a mérleg által megmért tömegek abszolút hibájáról beszél. Ebben az esetben akkor mérünk „pontosabban”, ha igyekszünk nagyobb tömegeket mérni, mert a relatív hiba ekkor lesz kisebb, „százalékosan ekkor követünk el kisebb hibát”.

Ahhoz, hogy pontosan értsük, mikor kell az abszolút hibával és mikor kell a relatív hibával dolgoznunk, vizsgáljuk meg, hogyan terjed, halmozódik a hiba a közelítő értékekkel való számolás során.

8.3.2. Műveletek közelítő értékekkel, hibaterjedés

A közelítő értékekkel végzett műveletek eredményei szintén közelítő értékek. A kapott eredmény hibáját a kiindulási értékek hibáiból tudjuk meghatározni. Az alábbiakban néhány, a hibaterjedésre vonatkozó fontos ismeretet foglalunk össze a teljesség igénye nélkül. A matematikai állítások bizonyításait bárki megtalálhatja az ilyen témájú könyvekben, illetve saját maga is könnyen igazolhatja ezeket. Az egyszerűség kedvéért a példákban mindig kéttagú összeget, illetve kéttényezős szorzatot vizsgálunk.

1. állítás	Az összeadás abszolút hibája az összeadandó tagok abszolút hibáinak az összege. Jelekkel:
	.	[2.]

Példa	Legyen az első közelítő érték 3400, amit a 3426 pontos érték két értékes jegyre történő kerekítésével kaptunk! Ennek az értéknek az abszolút hibája 26. Legyen a második közelítő érték a 2200, amit a 2243 pontos érték kerekítésével kaptunk! Ennek az értéknek az abszolút hibája 43. Ekkor a közelítő értékek összege: . Az összeg abszolút hibája: .

Példa	Legyen az első közelítő érték most is a 3400, amit a 3426 pontos érték két értékes jegyre történő kerekítésével kaptunk! Ennek az értéknek az abszolút hibája 26. A második közelítő érték legyen a 22, amit a 22,43 pontos érték kerekítésével kaptunk! Ennek az értéknek az abszolút hibája 0,43. Ekkor a közelítő értékek összege: . Az összeg abszolút hibája: .

Megjegyzés	1. A fenti első példából jól látszik, hogyha az abszolút hibák egy nagyságrendbe esnek, akkor a két hiba összeadódásából egy lényegesen nagyobb abszolút hiba kerekedhet, mint a kiindulási adatoké volt. Ugyanakkor nem igaz ez a relatív hibákra (lásd 2. állítás).
	2. A fenti második példából az derül ki, hogyha az abszolút hibák egyike több nagyságrenddel (jelen esetben kettővel) nagyobb a másiknál, akkor a kapott összeg abszolút hibáját gyakorlatilag a nagyobb határozza meg.

2. állítás	Az összeg relatív hibája az összeadandók relatív hibáinak legnagyobbika és legkisebbike közé esik. Legyen a két tag a és b, relatív hibáik és , valamint legyen . Ekkor: .	[2.]

Példa	Tekintsük az előbbiekben választott két példánkat! A 3400 relatív hibája: , ami 0,765%-os hibát jelent.
	A 2200 közelítő érték relatív hibája: , ami 1,95%-os hibát jelent.
	A kapott összeg, az 5600 relatív hibája: , ami 1,23%-os hibát jelent.
	A kapott eredmény jól mutatja a fenti állítás helyességét.

Példa	Tekintsük az előzőekben választott másik példát is, ahol az abszolút hibák két nagyságrenddel eltértek egymástól! A 3400 relatív hibája: , ami 0,765%-os hibát jelent.
	A 22 közelítő érték relatív hibája: , ami 1,95%-os hibát jelent.
	A kapott összeg, a 3422 relatív hibája: , ami 0,772%-os hibát jelent.
	A kapott eredmény szintén mutatja a fenti állítás helyességét.

Megjegyzés	1. Az előbbi példákból látható volt, hogy hiába csökkent a 2243 és annak abszolút hibája a század részére, a relatív hiba nem változott meg.
	2. A kapott összeg relatív hibája megváltozott azzal, hogy az összeadandók közül az egyiket az abszolút hibájával a századrészére csökkentettük.
	3. Az összeadás során a relatív hibák nem adódtak össze az abszolút hibákhoz hasonlóan, azaz a relatív hibákban nem történt halmozódás. A kapott összeg relatív hibáját a kiindulási adatok közül a relatíve pontatlanabb felülről becsli.
	4. Az összeadáskor a relatív hibák közül a kisebb relatív hibájával alulról becsülhető a kapott összeg relatív hibája, tehát nem fordulhat az elő, hogy a kapott eredmény pontosabb legyen, mint minden kiindulási érték.

3. állítás	A szorzat abszolút hibája úgy határozható meg, hogy az első tényező abszolút hibáját szorozzuk a második tényezővel, majd ehhez hozzáadjuk az első tényezőnek és a második tényező abszolút hibájának a szorzatát. Jelekkel: .

Példa	Maradjunk a 3400 és 2200 közelítő értékeknél, melyeket a 3426 és a 2243 pontos értékek kerekítésével kaptunk. A közelítő értékek szorzata: . A szorzat abszolút hibája: .

Példa	A másik esetben is maradjunk a 3400 és 22 közelítő értékeknél, melyeket a 3426 és a 22,43 pontos értékek kerekítésével kaptunk. A közelítő értékek szorzata: . A szorzat abszolút hibája: .

Megjegyzés	1. A fenti általános összefüggés ismerős lehet azoknak, akik a differenciálszámításban kicsit is járatosak, hiszen éppen a szorzatfüggvény differenciálására igazolt formula köszön vissza.
	2. A fenti összefüggés könnyen belátható. A szorzás nem más, mint rengeteg összeadás egymás utáni elvégzése. A 3400 és a 2200 összeszorzását úgy tekinthetjük, mintha a 3400-at egymás után 2200-szor összeadnám. Az összeadásnál mondottak értelmében ekkor a saját abszolút hibáját is ennyiszer kell összeadnom, azaz 2200-szor. Így kapjuk a szorzat abszolút hibájának az első tagját. Hasonlóan látható be a második tag jelenléte is.
	3. Az összeadással ellentétben a szorzás abszolút hibájában az egyik tényező századrészére történő csökkentése a hibát is századára csökkentette.

4. állítás	A szorzat relatív hibája egyenlő a tényezők relatív hibáinak összegével. Jelekkel: .	[2.]

Példa	Tekintsük az előbbiekben választott példáink közül az elsőt! A 3400 relatív hibája: , ami 0,765%-os hibát jelent.
	A 2200 közelítő érték relatív hibája: , ami 1,95%-os hibát jelent.
	A kapott szorzat, az 7 480 000 relatív hibáját kell meghatároznunk. A szorzat abszolút hibáját az előbb meghatároztuk. A relatív hiba: , ami 2,72%-os hibát jelent.
	Adjuk most össze a tényezők relatív hibáit! , amit a megfelelő értékes jegyekre kerekítve éppen 0,0272 adódik.

Példa	Tekintsük az előbbiekben választott példáink közül a másodikat! A 3400 relatív hibája: , ami 0,765%-os hibát jelent.
	A 22 közelítő érték relatív hibája: , ami 1,95%-os hibát jelent.
	A kapott szorzat, az 74 800 relatív hibáját kell meghatároznunk. A szorzat abszolút hibáját az előbb meghatároztuk. A relatív hiba: , ami 2,72%-os hibát jelent.
	Adjuk most össze a tényezők relatív hibáit! , amit a megfelelő értékes jegyekre kerekítve éppen 0,0272 adódik.
	Ez az eredmény a szorzat abszolút hibájánál a megjegyzés 3. pontja alapján egyáltalán nem meglepő.

5. állítás	A hányados abszolút hibája úgy határozható meg, hogy a számláló abszolút hibáját szorozzuk a nevezővel, ehhez hozzáadjuk a nevező abszolút hibájának és a számlálónak a szorzatát, majd a kapott értéket osztjuk a nevező négyzetével. Jelekkel: .

Példa	Maradjunk továbbra is a 3400 és 2200 közelítő értékeknél, melyeket a 3426 és a 2243 pontos értékek kerekítésével kaptunk! Számoljuk ki a két szám hányadosának abszolút hibáját.


Példa	Most is a 3400 és 22 közelítő értékeknél maradunk, melyeket a 3426 és a 22,43 pontos értékek kerekítésével kaptunk. Számoljuk ki az abszolút hibában szereplő mennyiségeket:

Megjegyzés	4. A példákból, de az általános formulából is látható, hogy ha a hányados nevezője a századrészére csökken, akkor az abszolút hiba a százszorosára nő a fordított arányosságnak megfelelően. A kisebb számmal való osztás az abszolút hibát is „kevesebb részre darabolja”, emiatt a kapott érték nagyobb marad.

6. állítás	A hányados relatív hibája egyenlő a tényezők relatív hibáinak összegével. Jelekkel: .	[2.]

Példa	A szorzat relatív hibájának meghatározásakor már kiszámoltuk a relatív hibák összegét a 3400 és 2200 közelítő értékeknél, melyeket a 3426 és a 2243 pontos értékek kerekítésével kaptunk. Ez az összeg 0,0272 adódott, ami 2,72%-os hibát jelent.
	Számoljuk ki a hányados relatív hibáját az abszolút hibájának a segítségével!
	, ami 2,72%-os hibát jelent. A kapott érték egyezik az előbbivel.

Példa	A szorzat relatív hibájának meghatározásakor már kiszámoltuk a relatív hibák összegét a 3400 és 22 közelítő értékeknél, melyeket a 3426 és a 22,43 pontos értékek kerekítésével kaptunk. Ez az összeg 0,0272 adódott, ami 2,72%-os hibát jelent.
	Számoljuk ki a hányados relatív hibáját az abszolút hibájának a segítségével!
	, ami 2,72%-os hibát jelent. A kapott érték egyezik az előbbivel.

7. állítás	A hatvány abszolút hibája az alap abszolút hibájának és a kitevőnek a szorzata. Jelekkel: .

Megjegyzés	Ez a szorzatnál ismertetett eredményből következik. Második hatványra: .

Példa	Számoljuk ki a 2200 közelítő érték négyzetének abszolút hibáját! Emlékezzünk, hogy ezt az értéket 2243 pontos adat két értékes jegyre történő kerekítésével kaptuk!


Példa	Számoljuk ki a 22 közelítő érték négyzetének abszolút hibáját! Emlékezzünk, hogy ezt az értéket 22,43 pontos adat két értékes jegyre történő kerekítésével kaptuk!


8. állítás	A hatvány relatív hibája az alap relatív hibájának és a kitevőnek a szorzata. Jelekkel: .	[2.]

Megjegyzés	Ez a szorzatnál ismertetett eredményből következik. Második hatványra: .

Példa	Számoljuk ki a 2200 közelítő érték négyzetének relatív hibáját! A számolásnál használjuk fel, hogy a szorzat relatív hibájának meghatározásakor a 2200 relatív hibáját már kiszámoltuk. Ez 0,0195-nek adódott.
	, ami 3,90%-os hibának felel meg.

Az előbbiekben áttekintettük a hibaszámítás alapjait, megmutattuk, hogy az alapműveletek és a hatványozás estében hogyan számolható a közelítő értékekből számolt adtok hibája. Az összeadás (kivonás) kivételével minden esetben a relatív hibákból számolható könnyen a hibaterjedés. Emellett láttuk azt is, hogy összeadás során a relatív hiba nem nő, tehát ebben az esetben nem kell a relatív hibák terjedésével, halmozódásával foglalkozni. Az is következik az eddigiekből, hogy minél több matematikai művelet végzünk a közelítő értékekkel (amik a kísérleti tudományok esetében legtöbbször mért adatokat jelentenek), a relatív hiba annál nagyobb lesz, a „százalékos eltérés egyre jobban nő”, azaz egyre pontatlanabb adatokat kapunk.

Az eddigi ismeretek birtokában gyakorlatilag minden, mérési adatok kiértékelésekor történő számolás során meg tudjuk adni a számolt adatok pontosságát, feltéve, hogy a kiindulási, azaz mért adatainknak ismerjük a hibáját (ami most az abszolút hibát jelenti). A fenti hibaszámítások elvégzése nagyon megnehezítené az eredmények kiértékelését, hacsak nem áll a rendelkezésünkre megfelelő számítógép és szoftver, ami elvégzi helyettünk ezeket az izgalmasnak egyáltalán nem mondható számításokat. Azonban nem mondhatunk le arról a szükséges és jogos igényünkről sem, hogy az adatainkat kellő pontossággal használjuk. A következőkben néhány olyan hasznos szabályt fogalmazunk meg, amelyek kikerülik a hosszadalmas hibaszámítási eljárásokat, ugyanakkor kellő útmutatással szolgálnak a megfelelő pontosságú számoláshoz.

8.3.3. Közelítő számítások a hibák pontos figyelembevétele nélkül

Az előző fejezetekben a különböző matematikai műveletek során terjedő hibával foglalkoztunk. A számunkra legrosszabb az, ha a hibák mindig összeadódnak, azaz erősítik egymást. Ez az eset a gyakorlati életben nagyon ritkán valósul meg. Tömeges számítások során, amikor nem végzünk pontos hibaszámítást, az alábbi szabályok adnak felvilágosítást, hogyan kell a megfelelő pontossággal számolnunk. [2.]

1. szabály	Közelítő értékek összeadásánál és kivonásánál az eredményben annyi tizedesjegyet hagyunk meg, mint amennyit a legkevesebb tizedesjegyet tartalmazó összeadandó (kivonandó) tartalmazott.	[2.]

2. szabály	Szorzásnál és osztásnál az eredményben annyi értékes számjegyet hagyunk meg, mint amennyi a legkevesebb értékes számjeggyel rendelkező adatban volt.	[2.]

3. szabály	Négyzetre- és köbreemelésnél az eredményben annyi értékes jegyet hagyunk meg, mint amennyi az alap közelítő értékében volt.	[2.]

4. szabály	Négyzet- és köbgyökvonásnál az eredményben annyi értékes jegyet hagyunk meg, mint amennyi a gyök alap közelítő értékében volt.	[2.]

5. szabály	A számolások során a részeredményeknél eggyel több jegyet hagyunk meg, mint amennyit a fenti szabályok előírnak. A végeredményben ezt a „biztonsági” számjegyet elhagyjuk.	[2.]

6. szabály	Ha az egyes adatok nagyobb pontossággal vannak megadva (összeadás és kivonás esetén több tizedesjegyet, szorzás és osztás esetén több értékes jegyet tartalmaznak), mint a többi, akkor ezeket előre kerekítjük és csak egy többletjegyet hagyunk meg.	[2.]

7. szabály	Logaritmus számolásakor a legkevesebb értékes jegyet tartalmazó adat értékes jegyeinek számát vesszük alapul. Ehhez egyet hozzáadunk, és ennyi értékes számjeggyel számolunk. Az eredményben ezt a plusz értékes jegyet elhagyjuk.	[2.]

Az előző fejezetekben megismertük a hibaszámítás alapjait. A tárgyalt ismeretek birtokában mindenki saját maga nyomon követheti, hogy az elvégzett matematikai műveletek után az újabb eredmény mekkora hibával rendelkezik (akár abszolút hibáról, akár relatív hibáról van szó). Emellett „praktikus tanácsokat” fogalmaztunk arra az esetre, ha tételes hibaszámításra nincsen megfelelő kapacitás, de a számolt adatokat szeretnénk a megfelelő pontosságon tartani. Egy dolog maradt hátra ahhoz, hogy nyugodtan nekiállhassunk a közelítő értékekkel dolgozni. Megfelelő módon fel kell vennünk a kiindulási adatokat, amik közelítő számításaink kezdő értékeit jelentik.

8.3.4. Mérési adatok felvétele, kiértékelése, hibája

Minden kísérleti tudomány, így a fizika és a kémia fontos területét képezi a mérések végrehajtása, a mérési adtok megfelelő pontossággal történő leolvasása, kiértékelése, a kiértékelt adatokból történő származtatott mennyiségek meghatározása. A származtatott mennyiségek meghatározásakor fellépő hibaterjedéssel, a származtatott adatok pontosságával már foglalkoztunk. Fordítsuk most figyelmünket a mérési adatok pontosságára és kiértékelésére.

A mérések közben, a mérési adatok rögzítésekor óhatatlanul előfordulnak hibák. Ha mindent a lehető legprecízebben és pontosabban hajtunk végre, akkor is számolnunk kell a műszerek mérési hibáiból adódó pontatlanságokkal. Teljesen pontos mérőműszer nem létezik. A méréskor felmerülő hibákat két nagy csoportba osztjuk, rendszeres (vagy szisztematikus) és véletlen hibákra. A rendszeres hibák kiküszöbölhetők, vagy elég pontosan számításba vehetők. Ilyenek pl. a helytelenül skálázott műszer, a kísérlet külső körülményeiben beállt változások. A véletlen hibák rendszerint olyan különféle okok következményei, amelyek minden mérés esetén másképp hatnak. A véletlen hibákat teljesen kiküszöbölni nem lehet. Számításba venni csak középértéken (átlagértéken) lehetséges. [2.] Ehhez ismerni kell a rájuk vonatkozó törvényeket, azaz tudni kell, hogy adott esetben milyen valószínűségi eloszlás szerint kell a mérés várható értékét és hibáját kiértékelni. Arra nem vállalkozunk, hogy minden lehetséges eloszlást megvizsgáljunk diszkrét és folytonos esetben is. A továbbiakban a mérési gyakorlatok során fellépő leggyakoribb eloszlással, a normális eloszlással foglalkozunk diszkrét értékek esetén.

A normális eloszlást használó mérés kiértékelésére szoktuk a mindennapi használatban az átlagszámítás kifejezést használni. Ahhoz, hogy ezt használhassuk, három feltételnek kell teljesülnie.

	1. Minden mérési eredménynek ugyanaz legyen a pontossága. (Ez automatikusan megvalósul, ha ugyanazt az eszközt használjuk minden mérésnél, illetve ugyanolyan pontosságú eszközzel mérünk. Ha ez nem teljesül, akkor a pontosabb adatokat kell kerekíteni a pontatlanabb adatoknak megfelelően.)
	2. Minden mérési adat ugyanakkora valószínűséggel forduljon elő.
	3. Ha egy mérési adat többször is előfordul, akkor azt annyi külön adatnak kell kezelni, ahányszor előfordul.

Megjegyzés	Ez utóbbi feltételt el is hagyhatjuk, ha úgy fogalmazunk, hogy a többször előforduló mérési adatot az előfordulás számával súlyozni kell.

1. állítás	Ha egy mennyiségre n egyenlő pontosságú értéket kapunk, akkor a mennyiség legvalószínűbb értéke a mérések számtani közepe. Jelekkel:
	,
	ahol jelöli a mérési eredményeket, pedig a mérések átlagát.	[2.]

Példa	Legyenek a mérési eredményeink: 3, 5, 4! Ekkor a mérés átlaga (legvalószínűbb értéke)
	.

Példa	Legyenek a mérési eredményeink: 2, 5, 11! Ekkor a mérés átlaga (legvalószínűbb értéke)
	.

Megjegyzés	Az előbbi két példából látszik, hogy a legvalószínűbb értéket, az átlagot nem feltétlenül mérjük meg. Előfordulhat, hogy a kapott átlag éppen szerepel a mérési adataink között, de az is, hogy nem.

Példa	Legyenek a mérési eredményeink: 2, 5, 5, 11, 11! Ekkor a mérés átlaga (legvalószínűbb értéke)
	.

Megjegyzés	4. Az előbbi példából látszik, hogy ha egy mérési eredmény többször is előfordul, akkor azt többször kell figyelembe venni. Ezt szokták súlyozott átlagnak nevezni. A fenti példában azt mondjuk, hogy az 5 és a 11 kétszeres súllyal esik latba.

2. állítás	Ha egy mennyiségre egyenlő pontosságú értékeket kapunk, és az egyes értékek különböző súllyal szerepelnek, akkor a mennyiség legvalószínűbb értéke a mérések súlyozott számtani közepe. Jelekkel:
	,
	ahol jelöli a mérési eredményeket, a megfelelő eredmények súlyait, pedig a mérések átlagát.	[2.]

Példa	Legyenek a mérési eredményeink: 2, 3,4,5, a hozzájuk tartozó súlyok rendre 1, 4, 2, 3! Ekkor a mérés átlaga (legvalószínűbb értéke)
	.

Megjegyzés	A súlyozott átlag lényegében nem különbözik a „sima” átlagtól, csak az egyforma adatok összevonását tartalmazza.

Az előzőekben meghatároztuk a mérés átlagértékét. Most már tudjuk, hogy több adat esetén melyik az a kitüntetett adat (ami nem feltétlenül mért érték), ami a mérés legvalószínűbb értékét, az ún. várható értékét adja. Ennek segítségével a sok mérési adatot egy mennyiséggel „helyettesíthetjük”. Az eddigiekben nem kaptunk arra választ, hogy ennek az átlagértéknek mekkora a hibája, milyen pontosságú adatot jelent ez, valójában milyen pontos is a mi mérésünk. A mérésünk pontossága alapvetően két dologtól függ: a mérőműszerek pontosságától és az adatok szórásától, vagyis attól, hogy mennyire vannak egymáshoz közel az adatok. A mérőműszer pontosságára nincs behatásunk, azt a gyártó eldöntötte. A mérési eredmények szórása jó műszer esetén főként a kísérletezőtől függ, a kísérleti körülmények határozzák meg. Természetesen minél pontosabb egy műszer, annál pontosabban lehet a kísérletek kivitelezni, ami a szórást is csökkenti. A következőkben az átlagértékek, azaz a mérés várható eredményének a szórását fogjuk meghatározni, amely szórás egyúttal a mérés abszolút hibáját is jelenti.

3. állítás	Ha egy mennyiségre n egyenlő pontosságú értéket kapunk, akkor szórás négyzete úgy számolható, hogy az egyes mérési eredmények átlagtól való eltérésének négyzetösszegét elosztjuk a mérések számával. Jelekkel:

	ahol jelöli a mérési eredményeket, pedig a mérések átlagát.	[2.]

Megjegyzés	1. A mérés szórásán, köznapi használatban hibáján, a fenti szórásnégyzet négyzetgyökét értjük.
	2. Fontos, hogy a mérés hibája nem a mért értékek átlagtól való eltérésének az átlaga, hanem négyzetátlagot kell venni, és abból kell gyököt vonni.


Példa	Legyenek a mérési eredményeink: 3, 5, 4! Ekkor a mérés átlaga (legvalószínűbb értéke)
	.
	A mérés hibája:

	.
	A megszokott jelöléseinkkel ezt így írhatjuk:
	.
	Végül, ha arra keressük a választ, hogy a fenti, három adatból álló mérésünknek mennyi az eredménye, akkor a választ kell adnunk.
	Megadhatjuk a mérés relatív hibáját is:
	, ami 21%-os hibát jelent.


Példa	Legyenek a mérési eredményeink: 3,41; 5,63; 4,76! Ekkor a mérés átlaga (legvalószínűbb értéke)
	.
	A mérés hibája:

	.
	A már megszokott jelöléseinkkel ezt így írhatjuk:
	.
	Végül, ha arra keressük a választ, hogy a fenti, három adatból álló mérésünknek mennyi az eredménye, akkor a választ kell adnunk.

	Megadhatjuk a mérés relatív hibáját is:
	, ami 15,9%-os hibát jelent.

Megjegyzés	A második példánkban már ügyeltünk arra is, hogy minden adatot és számolt eredményt szabályoknak megfelelő értékes jegyre adjunk meg.

4. állítás	Ha egy mennyiségre egyenlő pontosságú értékeket kapunk, akkor szórás négyzete úgy számolható, hogy az egyes mérési eredmények átlagtól való eltérésének súlyozott négyzetösszegét elosztjuk a súlyok összegével (mérések összes számával). Jelekkel:

	ahol jelöli a mérési eredményeket, a megfelelő eredmények súlyait, pedig a mérések átlagát.

Példa	Legyenek a mérési eredményeink: 2, 3, 4, 5, a hozzájuk tartozó súlyok rendre 1, 4, 2, 3! Ekkor a mérés átlaga (legvalószínűbb értéke)

	A mérés szórása:

	.
	A már megszokott jelöléseinkkel ezt így írhatjuk:
	.
	Végül, ha arra keressük a választ, hogy a fenti, három adatból álló mérésünknek mennyi az eredménye, akkor a választ kell adnunk.
	Megadhatjuk a mérés relatív hibáját is:
	, ami 23%-os hibát jelent.

Megjegyzés	Fölmerül a kérdés, hogy miért a szórást igazítjuk a mérési eredmények átlagához, miért nem a mérés várható értékét a szóráshoz. Ha van kellő számolási kapacitásunk (számítógépes program), akkor ténylegesen is pontosabban járhatunk el, ha a mérés várható értékét a legkisebb négyzetek módszerével számoljuk ki. Ekkor úgy határozzuk meg a mérés eredményét, hogy a szórásnégyzet (és a szórás is) a lehető legkisebb legyen.

A szórás, azaz a mérés hibájának a kiszámolásával minden a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy adatainkat ki tudjuk értékelni, a kiértékelt adatok segítségével a számolt, származtatott, mennyiségeket is meg tudjuk határozni a megfelelő pontossággal.

8.3.5. Az értékes jegyek és az adatok pontossága a számítási feladatok megoldásában

Végezetül néhány számítási feladat megoldásával igyekszünk bemutatni az adatok pontosságának figyelembevételét.

Első feladat

Mekkora hő szabadul fel, ha 5,0 cm³ 0,866 sűrűségű benzolt tökéletesen elégetünk? A reakció során vízgőz keletkezik. A számításhoz a képződéshőket használjuk!

V = 5,0 cm³ (2 értékes jegy, így kell majd a végeredményt megadni)

(3 értékes jegy, ennyi értékes jeggyel végzem a részszámításokat)

(3 értékes jegy)

Vissza a kétszintű érettségihez